Calculadora de Equações de Segundo Grau

Calculadora de Equações de Segundo Grau

Nossa calculadora de equações de segundo grau foi desenvolvida especialmente para o ensino, oferecendo explicações detalhadas passo a passo, visualização gráfica da parábola e múltiplos métodos de resolução. Ideal para estudantes e professores que desejam compreender profundamente as equações quadráticas.

Introdução: polinômios, grau e tipos de equação

Antes de resolver, vale entender de onde vêm as equações de 1º e 2º graus.

• Polinômio em x é uma expressão como:
  $$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$$
  O grau é o maior expoente com coeficiente não nulo.
• Equação do 1º grau: $ax+b=0$ com $a\ne 0$. Tem solução única $x=-\frac{b}{a}$ e gráfico em linha reta.
• Equação do 2º grau: $a{x}^2+bx+c=0$ com $a\ne 0$. Suas soluções dependem do discriminante e o gráfico é uma parábola (abre para cima se $a>0$ e para baixo se $a<0$).

Ao longo desta página, você verá quando usar cada método e como interpretar as soluções no gráfico.

Como usar a calculadora

1. Insira os coeficientes: Digite os valores de a, b e c da equação ax² + bx + c = 0
2. Visualize o processo: Acompanhe o cálculo do discriminante e aplicação da fórmula de Bhaskara
3. Analise o gráfico: Observe a parábola e suas principais características
4. Explore métodos alternativos: Quando possível, veja outras formas de resolução
5. Conecte com exemplos práticos: Entenda aplicações reais das equações quadráticas

Fundamentos teóricos

Forma geral da equação de segundo grau

Onde:

• a ≠ 0 (coeficiente principal)
• b (coeficiente linear)
• c (termo independente)

Fórmula de Bhaskara

Onde o discriminante é:

Tipos: completas e incompletas

• Completa: $a\ne 0,b\ne 0,c\ne 0$
• Incompletas: pelo menos um entre b ou c é zero
  • $a{x}^2+c=0$ (b = 0)
  • $a{x}^2+bx=0$ (c = 0)
  • $a{x}^2=0$ (b = 0 e c = 0)

Relações de Viète (soma e produto das raízes)

Se $x_1$ e $x_2$ são raízes de $a{x}^2+bx+c=0$ com $a\ne 0$, então:

• $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
• $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

Essas relações ajudam a conferir resultados e fatorar rapidamente quando possível.

Análise do discriminante (Δ)

O discriminante determina a natureza e quantidade de raízes:

Δ > 0: Duas raízes reais distintas

• A parábola corta o eixo x em dois pontos
• Exemplo: x² - 5x + 6 = 0 → Δ = 1 → x₁ = 2, x₂ = 3

Δ = 0: Uma raiz real dupla

• A parábola toca o eixo x em apenas um ponto (vértice)
• Exemplo: x² - 4x + 4 = 0 → Δ = 0 → x = 2

Δ < 0: Sem raízes reais

• A parábola não corta o eixo x
• Exemplo: x² + x + 1 = 0 → Δ = -3 → Sem soluções reais

Elementos gráficos importantes

Vértice da parábola

• Coordenada x: $x_v=-\frac{b}{2a}$
• Coordenada y: $y_v=-\frac{\Delta }{4a}$

Eixo de simetria

Concavidade

• a > 0: Parábola abre para cima (∪)
• a < 0: Parábola abre para baixo (∩)

Aplicações práticas

Física: Movimento uniformemente variado

Altura de um projétil: h(t) = -5t² + 20t + 10

• Quando o projétil atinge o solo? (h = 0)
• Qual a altura máxima? (vértice da parábola)

Economia: Função lucro

Lucro: L(x) = -2x² + 100x - 800

• Quantas unidades maximizam o lucro?
• Qual o lucro máximo possível?

Geometria: Área e perímetro

Terreno retangular: Se o perímetro é 100m e queremos área máxima

• x(50 - x) = área
• Equação: -x² + 50x = 0

Aprendendo a resolver equações de 2º grau

Este guia foi escrito para você, que quer entender de verdade as equações de segundo grau. Vamos aprender de forma gradual, com linguagem simples, muitos exemplos e exercícios para praticar.

1) O que é e como identificar cada parte

• Forma geral:
  $$a{x}^2+bx+c=0$$
• Incógnita: é o que queremos descobrir (geralmente, x)
• Coeficientes: a, b e c (números reais)
• Regra importante: $a\ne 0$

Exemplo de identificação: na equação $2x^2-7x+3=0$ temos a = 2, b = -7, c = 3.

Tipos de equações de 2º grau

• Completas: a, b e c são diferentes de zero.
• Incompletas:
  • Tipo I: $a{x}^2+c=0$ (b = 0)
  • Tipo II: $a{x}^2+bx=0$ (c = 0)
  • Tipo III: $a{x}^2=0$ (b = 0 e c = 0)

Como escolher o método de resolução

• Se for incompleta:
  • $a{x}^2=0$ → solução é $x=0$
  • $a{x}^2+c=0$ → isole $x^2$ e extraia a raiz
  • $a{x}^2+bx=0$ → coloque x em evidência: $x(ax+b)=0$
• Se for completa: prefira a Fórmula de Bhaskara. Em alguns casos, a fatoração é mais rápida. Para aprender, também vale praticar completar quadrados.

Métodos: passos claros

A. Fatoração (quando possível)

Ideia: escrever a equação como $(x-r_1)(x-r_2)=0$.

Passos:

1. Procure dois números que somem $-b/a$ e multipliquem $c/a$.
2. Escreva em fatores e aplique o produto nulo.

Exemplo: $x^2-5x+6=0$

• Números que somam 5 e multiplicam 6: 2 e 3.
• Fatores: $(x-2)(x-3)=0$ → $x=2$ ou $x=3$.

B. Completar quadrados

Ideia: transformar em um quadrado perfeito do tipo $(x+p{)}^2=q$.

Passos (quando a = 1):

1. Leve c para o outro lado: $x^2+bx=-c$
2. Some $(b/2{)}^2$ aos dois lados: $x^2+bx+(b/2{)}^2=-c+(b/2{)}^2$
3. Reescreva como quadrado: $(x+b/2{)}^2=-c+(b/2{)}^2$
4. Extraia as raízes e resolva para x.

Exemplo: $x^2+6x+5=0$

• $x^2+6x=-5$
• $(b/2{)}^2=3^2=9$
• $x^2+6x+9=4$ → $(x+3{)}^2=4$
• $x+3=\pm 2$ → $x=-1$ ou $x=-5$

Observação: se $a\ne 1$, divida toda a equação por a primeiro.

C. Fórmula de Bhaskara

com $\Delta =b^2-4ac$.

Passos:

1. Identifique a, b, c
2. Calcule $\Delta$
3. Analise o sinal de $\Delta$
4. Aplique a fórmula e simplifique

Observação gráfica (resumo)

• Vértice:
  $$V=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a}\right)$$
• Eixo de simetria:
  $$x=-\frac{b}{2a}$$
• Concavidade: se $a>0$ abre para cima; se $a<0$ abre para baixo.
• Raízes: pontos onde a parábola corta o eixo x (se existirem).

Exemplos resolvidos (passo a passo)

Exemplo 1 (completa, Bhaskara): $x^2-7x+12=0$

1. a = 1, b = -7, c = 12
2. $\Delta =(-7{)}^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1$
3. $x=\frac{-(-7)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{7\pm 1}{2}$
4. $x_1=4$, $x_2=3$ (verifique substituindo na equação)

Exemplo 2 (incompleta, c = 0): $2x^2-8x=0$

1. Coloque x em evidência: $2x(x-4)=0$
2. Soluções: $x=0$ e $x=4$

Exemplo 3 (fatoração): $x^2-5x+6=0$ → $(x-2)(x-3)=0$ → $x=2$ ou $x=3$

Erros comuns (e como evitar)

• Confundir $-b$ com b na Bhaskara → lembre: é o oposto de b
• Esquecer que $a\ne 0$ → se a = 0, não é equação de 2º grau
• Tentar raiz de número negativo quando $\Delta <0$ → não há raízes reais
• Perder sinais ao completar quadrados ou fatorar → reescreva cada passo com atenção

Exercícios com gabarito

1. Resolva: $x^2-4x-5=0$

Resposta:

2. Resolva: $3x^2+12x=0$

Resposta:

3. Resolva por completar quadrados: $x^2+10x+9=0$

Resposta:

4. Classifique e resolva: $4x^2-36=0$

Resposta: Incompleta (b = 0).

5. Use soma e produto: encontre raízes de $x^2-8x+15=0$

Resposta:

Números que atendem: 3 e 5. Logo,

Glossário rápido

• Incógnita: valor desconhecido que queremos achar.
• Coeficientes: números que multiplicam os termos da equação.
• Discriminante (Δ): ou delta, indica quantas raízes reais existem.
• Raiz: solução da equação.
• Parábola: gráfico da função quadrática.

Para estudar com mais conforto, nossas fórmulas aparecem em destaque e em tamanho maior, facilitando a leitura passo a passo. Quando quiser, use a calculadora didática para verificar seus resultados e ver o gráfico correspondente.